METODI E MODELLI MATEMATICI PER L'INGEGNERIA

Programma del corso

Introduzione ai metodi variazionali per lo studio delle equazioni differenziali: motivazioni, esempi. Necessità della risoluzione numerica. Spazi metrici e spazi normati. Spazi funzionali: principali esempi Concetti fondamentali. Disuguaglianze di Young, Hölder e Minkowski. Successioni in uno spazio metrico. Funzioni continue. Spazi metrici completi. Spazi di Banach.Spazi di Hilbert. Regola del parallelogramma. Disuguaglianza di Cauchy-Schwarz. Cenni alla teoria della misura e dell’integrazione secondo Lebesgue. Derivata debole.Spazi di Sobolev. Disuguaglianza di Poincaré. Disuguaglianze di traccia. (I-II CFU)

Operatori lineari. Spazi duali. Forme bilineari, problemi variazionali astratti. Teorema di Lax-Milgram. Forme bilineari simmetriche. Approssimazione e metodo di Galerkin-elementi finiti: esistenza, unicità e stabilità della soluzione discreta, convergenza. Lemma di Céa. Equazioni ellittiche. Soluzioni classiche, forti e deboli (o variazionali). Formulazione variazionale di un problema di diffusione, trasporto e reazione con condizioni al bordo di Dirichlet, di Neumann, miste e di Robin. Equazioni generali in forma di divergenza. (III-IV CFU).

Equazioni paraboliche. Formulazione debole e sua approssimazione. Stime a priori. Analisi del problema semi-discreto. Il metodo delle differenze finite per equazioni iperboliche. Analisi dei metodi alle differenze finite. Equazioni equivalenti e analisi dell’errore (V-VI CFU).

Ultimo aggiornamento: 19-09-2023

H. Brezis, Analisi Funzionale. Teoria e applicazioni, Liguori Editore 2002.

P. Cannarsa, T. D'Aprile, Introduzione alla teoria della misura e all’analisi funzionale, Springer-Verlag Milano 2008.

S.Salsa, Equazioni a derivate parziali (Metodi, modelli e applicazioni), Springer.

A. Quarteroni, Modellistica Numerica per Problemi Differenziali. Springer, 2008.

V. Romano, Metodi matematici per i corsi di ingegneria, Città Studi Edizioni (2018)

L. Formaggia, F. Saleri, A. Veneziani, Applicazioni ed esercizi di modellistica numerica per problemi differenziali. Springer Verlag (collana Unitext), 2005.

Ultimo aggiornamento: 19-09-2023

Il corso si propone di presentare allo Studente i principali metodi elementari per lo studio delle equazioni differenziali alle derivate parziali, strettamente legati alle tecniche di approssimazione numerica e utili per risolvere quantitativamente problemi di interesse ingegneristico, quali ad esempio, il metodo di Galerkin-elementi finiti per problemi di tipo ellittico e il metodo delle differenze finite per equazioni paraboliche ed iperboliche. L'obiettivo generale del corso è quello di introdurre tali tematiche partendo da semplici problemi derivanti dalle scienze applicate e seguendo un medesimo schema ricorrente: analisi matematica del problema, approssimazione numerica, analisi dei risultati.

Ultimo aggiornamento: 19-09-2023

Analisi Matematica I e Analisi Matematica II

Ultimo aggiornamento: 19-09-2023

Lectures and exercises in presence

Ultimo aggiornamento: 19-09-2023

Esame orale. A scelta dello studente, può essere oggetto della prova orale la discussione di una tesina relativa ad un problema ingegneristico studiato con i metodi appresi a lezione, avvalendosi eventualmente anche di programmi di calcolo simbolico e numerico.

Ultimo aggiornamento: 19-09-2023