| Obiettivi |
Conoscenza delle nozioni di base dell'algebra lineare (matrici, determinanti, sistemi di equazioni lineari, spazi vettoriali, applicazioni lineari, autovalori ed autovettori, diagonalizzazione di una matrice, prodotti scalari) e della geometria analitica in dimensione due e tre (equazioni di rette e piani e studio analitico delle loro mutue posizioni; equazioni e studio di curve e superfici, con particolare riferimento a coniche e quadriche). Conoscenza degli strumenti e delle tecniche proprie dell’Algebra Lineare per lo studio della Geometria Analitica. Capacità di comprendere e utilizzare strumenti matematici adeguati per la risoluzione di problemi geometrici del piano e dello spazio. Capacità di comunicare le conoscenze acquisite attraverso un linguaggio tecnico-scientifico adeguato.
Conoscenze relative agli aspetti metodologico-operativi della geometria, ai fini dell’interpretazione e descrizione di applicazioni nell’ambito dell’Ingegneria.
Modalità di accertamento e valutazione:
La prova d'esame consiste in una verifica scritta finale ed in una prova orale alla quale si accede se nella verifica scritta finale si è conseguito almeno un punteggio minimo predeterminato. Il superamento di eventuali prove scritte in itinere esonera lo Studente dalla verifica scritta finale o da parte di essa. Svolgimento di un progetto.
Il superamento della prova scritta dà diritto a sostenere l'esame orale solo nell'appello nel quale è stato superato l'esame scritto o negli appelli della medesima sessione.
I possibili argomenti su cui verterà l'esame scritto sono:
1. Spazi vettoriali e sottospazi, i 4 sottospazi fondamentali (3pt)
2. Risoluzione di sistemi lineari ed applicazioni pratiche (3 pt)
3. Operazioni tra matrici, calcolo della matrice inversa, matrici simili (2 pt)
4. Ortogonalità: ortogonalità dei quattro sottospazi, proiezioni nei sottospazi, approssimazione con i minimi quadrati, matrici ortogonali e Gram-Schmidt, la trasformata veloce di Fourier (6 pt)
5. Determinanti e applicazioni Lineari (proprietà e applicazioni dei determinanti) (6 pt)
6. Autovalori e autovettori (diagonalizzazione, matrici simmetriche definite positive, equazioni alle differenze, sistemi di equazioni differenziali, matrici complesse, trasformazioni di similitudine (6 pt)
7. Decomposizione in valori singolari SVD (2 pt)
8. Cenni alla forma canonica di Jordan (2 pt)
Nella prova scritta si valutano le capacità critiche raggiunte dallo Studente nell'inquadrare le tematiche oggetto del Corso ed il rigore metodologico delle risoluzioni proposte in risposta ai quesiti formulati. Tale prova ha la durata massima di due ore. La prova orale consiste in un colloquio sugli argomenti della prova scritta e
sugli argomenti teorici che fanno parte del programma del corso. Si valuta la capacità dello studente di comunicare le nozioni acquisite attraverso un linguaggio scientifico adeguato e la capacità di esposizione.i
Il voto finale sarà attribuito secondo il seguente criterio di valutazione:
30 - 30 e lode: ottima conoscenza degli argomenti, ottima proprietà di linguaggio, completa ed originale capacità interpretativa, spiccata capacità di applicare autonomamente le conoscenze per risolvere i problemi proposti;
26 - 29: conoscenza completa degli argomenti, buona proprietà di linguaggio, completa ed efficace capacità interpretativa, in grado di applicare autonomamente le conoscenze per risolvere i problemi proposti;
24 - 25: conoscenza degli argomenti con un buon grado di apprendimento, discreta proprietà di linguaggio, corretta e sicura capacità interpretativa, capacità di applicare in modo corretto la maggior parte delle conoscenze per risolvere i problemi proposti;
21 - 23: conoscenza adeguata degli argomenti, ma mancata padronanza degli stessi, soddisfacente proprietà di linguaggio, corretta capacità interpretativa, limitata capacità di applicare autonomamente le conoscenze per risolvere i problemi proposti;
18 - 20: conoscenza di base degli argomenti principali e del linguaggio tecnico, capacità interpretativa sufficiente, capacità di applicare le conoscenze acquisite;
Insufficiente: non possiede una conoscenza accettabile degli argomenti trattati durante il corso.
|
| Programma |
1. Sistemi lineari e matrici.
La Geometria delle equazioni lineari.
Eliminazione gaussiana.
Matrici.
Fattorizzazione triangolare.
Inverse e trasposte.
Problemi applicati e matrici speciali. Matrici di Markov (1cfu)
2. Spazi vettoriali
Spazi vettoriali e sottospazi.
Risoluzione di Ax=0 e Ax=b.
Indipendenza lineare, basi e dimensioni.
I quattro sottospazi fondamentali.
Grafi e reti
Trasformazioni lineari (1cfu)
3. Ortogonalità
Vettori ortogonali e sottospazi
Coseni e proiezioni sulle rette
Proiezioni e minimi quadrati
Basi ortonormali e procedura Gram-Schmidt
La trasformata veloce di Fourier (1cfu)
4. Determinanti
Proprietà del determinante
Formule per il calcolo del determinante
Applicazioni dei determinanti (1cfu)
5. Autovalori e autovettori
Diagonalizzazione di una matrice
Equazioni alle differenze e potenze di una matrice
Equazioni differenziali: la matrice e^(At)
Matrici complesse
Trasformazioni di similitudine (1 cfu)
6. Matrici definite positive
Minimi, massimi e punti di sella
Criteri per matrici definite positive
Decomposizione in valori singolari. Pseudoinversa. Forma canonica di Jordan(1 cfu)
3. Operazioni tra matrici, calcolo della matrice inversa, matrici simili (2 pt)
4.Applicazioni Lineari (iniettività, suriettvità, immagine e nucleo, diagonalizzazione, cambio di base) (6 pt)
4. Classificazione delle coniche o delle quadriche (4 pt)
5. Rette e piani e nello spazio (2 pt)
6. Condizioni di ortogonalità, parallelismo tra rette e piani, e intersezione tra retta e piano (5 pt)
7.Spazi euclidei, basi ortonormali, procedimento di ortonormalizzazione, isometrie (5pt) |
